二零零一年的十月,像是一塊受潮了很久的餅乾。
咬在嘴裡不脆,嚥下去也不軟,就那麼溫吞吞、黏糊糊地噎在喉嚨口。
市一中的行政樓頂樓,空氣似乎比樓下要稀薄一些。
這裡是陳拙的新領地。
老趙給的那把黃銅鑰匙,不僅僅開啟了一扇鐵門,更是為陳拙在這個嘈雜的初中校園裡,圈出了一塊絕對安靜的真空地帶。
下午四點。
天色有些陰沉,雲層壓得很低,窗外的法國梧桐樹頂顯得灰撲撲的。
檔案室裡沒有開燈。
陳拙喜歡這種自然光逐漸消退、昏黃暮色一點點滲透進來的感覺。
這讓他覺得自己像是一個蟄伏在洞穴裡的動物,安全,且專注。
他坐在那張掉了漆的紅木桌前。
桌面上鋪開了一張A3大小的白紙,旁邊散落著幾支已經寫幹了墨水的晨光筆芯。
空氣中瀰漫著陳舊紙張特有的酸味,那是幾十年積攢下來的知識發酵的味道。
陳拙正在做題。
這是一道立體幾何題,一張全國高中數學聯賽的複賽卷。
題目描述很簡單:
【一個正四面體ABCD,稜長為a。點P在稜AB上運動,點Q在稜CD上運動。求PQ與底面BCD所成角的正切值的取值範圍。】
圖形在腦子裡一閃而過。
正四面體,最完美的柏拉圖多面體。
如果是普通的初中生,或者剛接觸立體幾何的高中生,這時候大概會開始在大腦裡旋轉這個椎體,試圖尋找那個該死的二面角,或者在那兒比劃著怎麼做垂線,怎麼找投影。
陳拙沒有比劃。
他甚至沒有多看那個圖形一眼。
他的手很穩,抓起一支黑色的簽字筆,在白紙的左上角,熟練地畫了一個十字。
建系。
這是他的本能。
在他眼裡,空間不是“空”的,空間是被這三條互相垂直的軸線切割、固定的。
沒有甚麼幾何問題是座標系解決不了的。
如果有,那就再引入一個引數方程。
“設底面中心為原點O()……”
陳拙心裡默唸著,筆尖飛快地落下。
這一招,叫空間解析幾何。
這是大學數學的入門工具,但在中學競賽裡,它就是一把重型機槍。
不管題目裡的點怎麼動,不管那個四面體怎麼歪,只要把它釘死在座標軸上,剩下的就是純粹的計算。
設P點座標(x1, y1, z1),引入引數 t。
設Q點座標(x2, y2, z2),引入引數 k。
PQ向量的座標表示……
法向量……
數量積……
筆尖在紙上劃過,發出沙沙的聲響。
這聲音很密,很急,像是一場急促的雨。
陳拙寫得很順。
他的大腦像是一臺精密的處理器,快速地處理著那些帶著根號、分母和平方的複雜式子。
√2 / 3a,√6 / 3a……
這些數字在他的筆下不斷地拆解、組合、相乘、相消。
十分鐘過去了。
白紙被寫滿了一半。
墨水的味道有些刺鼻。
陳拙感覺自己的手腕稍微有點酸。
這種方法雖然“無敵”,但有一個致命的缺點:
計算量大得驚人。
尤其是當涉及到兩個動點的時候,最後推匯出來的那個函式解析式,長得像一條蜿蜒的毒蛇。
分母裡套著根號,根號裡套著平方,平方里還帶著引數。
“嘖。”
陳拙皺了皺眉,停下筆,甩了甩手腕。
他看著紙上那一大坨黑乎乎的算式。
並沒有錯。
邏輯嚴密,推導無誤。
只要再解一個關於 t和 k的二元函式極值,答案就出來了。
也就是再算半頁紙的事兒。
但他突然覺得有點煩。
這種煩躁不是因為題目難,恰恰相反,是因為題目不難,但麻煩。
就像是讓你用勺子把一遊泳池的水舀幹。
你知道怎麼舀,也舀得動,但每一勺下去,除了機械的重複,沒有任何新鮮感。
“這就是所謂的硬骨頭?”
陳拙有些失望地嘟囔了一句。
他原本以為80年代的競賽題能給他帶來點驚喜,結果也就是考驗誰的算力更強、誰更耐煩而已。
他重新握緊筆,準備一鼓作氣把那個極值算出來。
暴力破解嘛,講究的就是一個力大磚飛。
就在他準備落筆的時候,他的目光無意間掃過了手邊的一本舊書。
那是他剛才為了找題,隨手從書架角落裡抽出來的一本發黃的線裝書。
書名模糊不清,封皮都快掉了,像是某位老教師當年的備課筆記,或者是當年集訓隊的內部交流資料。
書是攤開的。
好巧不巧,那一頁的角落裡,畫著一個和陳拙現在做的題目一模一樣的圖。
正四面體。
兩個動點。
陳拙的動作停滯了一下。
他好奇地湊過去,想看看當年的前輩是怎麼建座標系的。
是不是有甚麼更簡便的建系方法?
比如利用對稱性?
然而。
當他的目光落在那個圖形旁邊的時候,他愣住了。
那旁邊沒有座標系。
沒有x,沒有y,沒有z。
甚至沒有算式。
那裡的空白處,用藍色的鋼筆水,潦草地畫了一個很奇怪的圖。
那是一個正方形。
正方形裡面套著那個正四面體的投影。
旁邊寫了一行字,字跡飄逸,透著一股子漫不經心的隨意:
【把它補成一個正方體。P和Q,不過就是正方體兩個面上的螞蟻。投影一下,一眼可見。】
下面還有一句更簡短的批註:
【別算,用眼看。】
陳拙盯著那行字。
“別算,用眼看?”
他下意識地推了推眼鏡,眉頭鎖得更緊了。
這算甚麼解法?
補成正方體?
他在腦子裡試著構建了一下。
正四面體確實可以內接於一個正方體,這是個經典的幾何模型。
但是……
就算補成了正方體,P和Q還是動點啊。
還是要算距離,算角度啊。
怎麼可能一眼可見?
陳拙並不覺得這行字是錯的。
能寫在集訓隊講義上,肯定有它的道理。
但他覺得這種方法很險。
數學是應該是嚴謹的,是邏輯的堆砌,是方程的求解。
一眼可見這種詞,屬於文學,不屬於數學。
他搖了搖頭,把那本舊書推到一邊。
“太依賴直覺了。”
陳拙在心裡給出了評價。
這種補形法或者是投影法,往往是針對某一道特定題目的巧合。
如果題目稍微變一下呢?如果不是正四面體,是歪四面體呢?
然後低下頭,繼續在這個被座標軸鎖死的牢籠裡,為了那個二元函式的極值而奮鬥。
筆尖再次在紙上划動。
沙沙沙。
沙沙沙。
計算還在繼續。
根號被開啟,平方被合併,引數被消去。
終於。
又過了十五分鐘。
陳拙長出了一口氣。
算出來了。
答案是一個區間。
[0,√2/2]。
他把鋼筆扔在桌上,看著那張寫滿了密密麻麻算式的A3紙。
這就是戰果。
這就是力量。
雖然過程繁瑣,雖然手腕痠痛,但這就是絕對正確的答案。
陳拙靠在椅背上,看著天花板,試圖享受一下解題後的快感。
但是。
那種快感並沒有如期而至。
反倒是剛才那本舊書上的那行潦草的字,像是一隻蒼蠅一樣,在他腦子裡嗡嗡亂飛。
【別算,用眼看。】
陳拙煩躁地坐直身子。
他又把那本舊書扯了過來。
他盯著那個簡陋的草圖。
正方體。
投影。
“怎麼看?”
陳拙在心裡反問那個看不見的對手。
“光憑看,你能看出根號二?你能看出正切值?”
在他的視野裡,圖形是由線條組成的,線條是由點組成的,點是由座標定義的。
離開了座標,圖形就是一團模糊的影子,不可捉摸,不可信任。
他合上書。
把那張寫滿算式的紙摺好,夾進書裡。
就像是用自己的正確,封印了那個話語。
他再次確認了自己的判斷。
然後收拾書包,起身離開。
檔案室的鐵門哐噹一聲關上。
走廊裡空蕩蕩的,只有陳拙的腳步聲在迴盪。
他走得很穩。
但他自己沒發現,他的腳步比平時稍微沉重了一點點。
就像是鞋子裡進了一粒極其微小的沙子。
不硌腳。
但是有一種異樣的感覺。