考場內,時間彷彿被一隻無形的手按下了慢放鍵。
許燃的筆尖,如同在冰面上起舞的精靈,在雪白的捲紙上優雅地流淌。
他沒有上來就寫下一大串讓人頭皮發麻的複雜公式。
反而像一個最虔誠的初學者一樣,開始一筆一劃地,定義整個證明過程最基本的步驟。
【第一步:奠基。】
【當n=4時,一個K4圖存在的機率為p^6。雖然在極限情況下,這個機率無限趨近於零,微不足道,但作為邏輯的起點,它依然成立。】
【第二步:歸納假設。】
【假設當圖的頂點數為k (k≥4)時,該結論成立。即當p*k^(2/3)/(log k)^(1/3)→∞時,一個k階隨機圖中,幾乎必然存在K4。】
【第三步:遞推證明。】
【現在,我們考慮一個有k+1個頂點的圖 G_{k+1}。】
這一步,是所有數學歸納法的核心,是那道從有限通往無限的橋樑,也是最難的一步。
如何從“k”這個已知的世界,穩固地,遞推到“k+1”這個未知的世界?
監控室裡,所有專家教授都下意識地屏住了呼吸,一個個伸長了脖子,眼睛瞪得像銅鈴。
他們絞盡腦汁,也想不出,該如何在一個充滿“隨機”和“機率”的框架下,去完成這個看似不可能的遞推。
就在這時,只見許燃的筆,輕輕一轉。
他根本沒有去分析那個無比複雜的 G_{k+1}整體。
而是寫下了石破天驚,足以讓任何一個圖論學者都大腦宕機的一行字。
【讓我們換一個角度,不去考慮這個靜態的 G_{k+1}。】
【我們來考察一個‘子過程’。】
【我們不將圖一次性生成,而是想象成,逐個地,將頂點加入到圖中。】
【當我們加入第k+1個頂點,命名為v時,我們來考察它與之前已經存在的k個頂點{v_1, v_2,..., v_k}之間的連線情況。】
“動態過程!他……他把一個靜態的隨機圖問題,轉化成了一個動態的隨機過程!”
那位白髮蒼蒼,在省數學會德高望重的老教授,再也控制不住情緒,“砰”的一聲從椅子上站了起來。
他手指因為過度激動而劇烈顫抖,指著螢幕,嘴唇哆嗦著,好半天才擠出一句話。
“我的天……這個思路……這個思路太野了!太瘋狂了!這簡直是降維打擊!”
另外一個教授扶了扶自己的眼鏡,鏡片下的雙眼寫滿了震撼:
“這……這已經不是在解題了!這是在創造一種全新的思維正規化!
他根本沒打算在二維的棋盤上跟我們下棋,他直接把棋盤給掀了,自己重新畫了一個三維的!”
“瘋子!真是個瘋子!我收回我剛才的話,他不是在胡鬧,他是在……展現天賦!”
許燃的筆,還在不知疲倦地繼續。
他引入了一個非常巧妙的輔助隨機變數Y,這個Y代表的事件是:
新加入的頂點v,恰好與之前那個k階圖中一個“已經存在的K3子圖”的所有頂點,都產生了連邊。
然後,他用最基礎的條件機率公式,輕鬆寫出了Y存在的機率表示式。
緊接著,他做出了一個讓監控室裡所有人都眼珠子快掉出來的,神來之筆般的操作。
他沒有繼續深入地去計算這個機率。
而是直接在表示式的旁邊,寫下了另一個在數學界如雷貫耳,但簡單到連高中生都會的名字。
【柯西-施瓦茨不等式。】
“甚麼?!”
“柯西-施瓦茨?
他寫這個幹甚麼?
這玩意兒不是高中競賽最基礎的不等式嗎?用在這裡?開甚麼玩笑!”
“等一下!不對!你們看他寫的形式!”
一個年輕的博士生導師尖叫起來。
所有人的目光都死死釘在螢幕上。
許燃此刻信手拈來用出來的,根本不是他們常見的那種形式,而是一個極其精妙,幾乎無人問津的,機率形式的變體!
他鬼斧神工般地,用這個最基礎的不等式,將一個無比複雜的機率乘積問題,極其巧妙地,轉化為了一個異常簡單的機率求和問題!
“我的天啊……”
一位教授喃喃自語,“他甚至根本不需要知道那些精確的機率值到底是多少!”
“對!他只需要知道,它們的和,隨著k的不斷增大,是在變大還是在變小!”
“而那個閾值函式……”
所有人的腦海中,同時閃過了題目中給出的那個無比詭異的,如同天外飛仙般的閾值函式 p*n^(2/3)/(log n)^(1/3)→∞!
在這一刻,它終於露出了它的獠牙!
它不再是一個門檻,一個限制。
而是變成了一把鑰匙!
一把,能解開終極奧秘的鑰匙!
而這把鑰匙,完美地,嚴絲合縫地,插入了由柯西-施瓦茨不等式所構造出的那把“鎖”裡。
“咔嚓。”
彷彿是時空深處,傳來了一聲輕響。
一聲真理之門被悍然開啟的聲音。
所有的複雜性,所有的迷霧,所有的計算障礙,在這一聲輕響中,瞬間煙消雲散。
剩下的,只有一條清晰無比,宏偉壯麗,不可動搖的邏輯階梯。
它從n=4的凡間地面開始,一步,一步,穩固地,不可阻擋地,向上無限延伸,最終毫無懸念地,通往了名為“無窮”的神之雲端!
【綜上所述,當n趨近於無窮時,G中幾乎必然存在一個大小為4的團。】
【證畢。】
“唰。”
當許燃瀟灑地寫下最後一個句號時。
“叮鈴鈴鈴鈴——”
考試結束的鈴聲,也彷彿計算好了一般,尖銳地,響徹了整個基地。
完美的時間掌控!
“呼——”
許燃長長地吐出了一口濁氣,整個人像是剛從水裡撈出來一樣。
後背的T恤,已經被汗水完全浸透,緊緊地貼在身上。
【絕對真理卡】的奇妙效果,也在鈴聲響起的那一刻,如同潮水般悄然褪去。
一種前所未有的,彷彿要將靈魂都抽乾的巨大疲憊感,如同海嘯般湧來。
但他的一雙眼睛,卻亮得嚇人,彷彿有日月星辰,正在其中生滅、輪迴。
“收卷!”
劉忠兵像一頭髮瘋的公牛,第一個衝進了考場,他的目標無比明確,一個箭步就衝到了許燃的座位前。
他甚至都顧不上去看其他學生,一把搶過許燃那張還散發著油墨清香的卷子。
目光如電,直接落在了那最後一道題的證明過程上。
數學歸納法?
柯西-施瓦茨不等式?
鬼斧神工,如同天外飛仙般的“動態過程”構造。
看不到任何一個複雜的公式,看不到任何一步繁瑣的計算。
整篇證明乾淨優雅,卻又蘊含著一種返璞歸真,直指問題本質的恐怖“力量”!
劉忠兵拿著卷子的雙手,開始劇烈地顫抖。
他想起了自己年輕時,有幸去京城聽過一位菲爾茲獎得主的講座。
那位站在世界之巔的大牛,當時雲淡風輕地說過一句話:
“頂級的數學家,不是去創造複雜的工具來解決問題,而是用最簡單的思想,讓問題本身消失。”
眼前的這份答卷,就是對這句話,最完美的,最無情的詮釋!
“這不是‘術’……”
劉忠兵的喉嚨裡,發出一陣被死死壓抑住的,如同野獸般的低吼。
常年冷若冰霜的臉上,第一次浮現出了一種“虔誠”的狂熱表情。
“這是‘道’!這他媽的……是數學的‘道’啊!”
他猛地抬起頭,用一種看神明,看怪物,看未來行走的菲爾茲獎得主的眼神,死死地看著眼前這個因為脫力而臉色蒼白的少年。
“你……你……”
他激動得渾身顫抖,漲紅了臉,嘴巴張了幾次,卻一個字都說不出來。
考場裡,其他考生都陸陸續續地交了卷,一個個垂頭喪氣,愁眉苦臉。
“最後那題是甚麼鬼?我連題目都差點沒看懂!”
“別提了,我草稿紙都用了三張,算出來一堆亂七八糟的東西,最後全劃了。”
只有高帆,他雖然也沒有做出來,但臉上卻掛著一絲幸災樂禍的冷笑。
他看到劉忠兵第一個衝向許燃,心裡就篤定,許燃肯定是最後瞎寫一通,被抓了個典型。
他慢悠悠地走過去,想看看許燃的笑話,嘴裡還假惺惺地說道:
“劉老師,別太生氣了,許燃同學可能就是太想證明自己了,一時著急亂了方寸……”
他的話還沒說完,就看到了劉忠兵那張扭曲到極致的臉。
不是憤怒。
是……凡人看到了神蹟時的狂喜與戰慄!
高帆的話,戛然而止。
他看到劉忠兵教練,小心翼翼地,用雙手,像是捧著一件絕世的稀世珍寶一樣,捧著許燃的答卷。
很顯然,高帆被無視了。
“你……你……”
劉教練看著許燃,激動得渾身顫抖,漲紅了臉,一句話都說不出來。